LC电路分析:串联，并联，方程和传递函数英雄联盟菠菜app - 英雄联盟菠菜app,英雄联盟赌钱网站,英雄联盟彩票官网首页

内容

什么是LC电路?

LC电路(也称为LC滤波器或LC网络)定义为电路组成的无源电路元件一个电感器(左)和一个电容器(C)连接在一起。它也被称为谐振电路、油箱电路或调谐电路。

由于缺少一个电阻器在电路的理想形式下，LC电路不消耗能量。这与理想的形式不同RC电路，RL电路,或RLC电路，由于电阻的存在而消耗能量。

也就是说，在实际电路中，LC电路总是会因为元件和连接线的非零电阻而消耗一些能量。

为什么LC电路被称为调谐电路或槽电路?

的负责在电容器板和感应器之间来回流动。能量在电容器和电感之间振荡，直到元件和连接线的内阻使振荡消失。

这个电路的动作就像一个调谐的动作，数学上称为谐振子，它类似于一个来回摆动的钟摆或水槽里来回流动的水;因此，该电路称为调谐电路或油箱电路。

该电路可以作为一个电谐振器，并存储在频率叫做共振频率。

串联LC电路

在串联LC电路中，电感和电容串联，如图所示。

由于在串联电路中，电路中各处的电流都是相同的，因此电流的流量等于通过电感和电容的电流。

$\begin{align*} i = i_L = i_C \end{align*}$

现在，通过端子的总电压等于通过电容器的电压和通过电感的电压之和。

$\begin{align*} V = V_L + V_C \end{align*}$

串联LC电路中的谐振

当频率增加时感抗也会增加

$\begin{align*} X_L = 2 \pi fL \end{align*}$

它的大小容抗减少。

${对齐*}X_C = \ \开始压裂{1}{\ωC} = \压裂{1}{2π\ f C} \{对齐*}结束$

在谐振条件下，感抗和容抗的大小相等。

${对齐*}\ \开始开始{分裂}& X_L = X_C \ \ & \ L =ω\压裂{1}{\ωC} \ \ & \ω^ 2 = \压裂{1}{LC} \ \ & \ω= \ omega_0 = \压裂{1}{\ sqrt {LC}}(, \ω=角频率)\ \ & 2 \πf = \ omega_0 = \压裂{1}{\ sqrt {LC}} \ \ & f_0 = \压裂{\ omega_0}{2 \π}= \压裂{1}{2 \π\√{LC}} \ \ \{分裂}\{对齐*}结束结束$

在那里, $\ omega_0$ 为共振角频率(弧度每秒)。

$f_0$ 为共振频率(赫兹)。

现在一个阻抗串联LC电路的

$\开始{对齐*}\开始{分裂}& Z_L_C_ (_s_e_r_i_e_s_) = Z_L + Z_C j \ \ & =ωL + \压裂{1}{C jω\}\ & = j \ωL + \压裂{j} {j C ^ 2ω\}\ & j = \ωL - \压裂{j}{\ωC} \ & = j(\压裂{\ω^ 2 LC - 1}{\ωC}) (, j ^ 2 = 1) \ \{分裂}\{对齐*}结束结束$

角共振频率是 $\ omega_0 = \压裂{1}{\ sqrt {LC}}$ ，则阻抗变为

(1） $\{方程*}开始Z_L_C(\ω)_ (_s_e_r_i_e_s_) = j L(\压裂{\ω^ 2 - \ omega_0 ^ 2}{\ω})结束\{方程*}$

因此在共振条件时 $ω= \ \ omega_0$ 总电阻抗Z将为零，意味着X_l和X_C相互抵消。因此，提供给串联LC电路的电流最大( $I = {V} {Z}$ ）.

因此，串联LC电路在与负载串联时，将起到a的作用带通滤波器在谐振频率处阻抗为零的。

在低于谐振频率的频率，即。 $f < f_0$ ， $X_C > > X_L$ ．因此电路是电容性的。
在高于谐振频率的频率，即。 $f > f_0$ ， $X_L > > X_C$ ．因此电路是电感的。
在共振频率，即。 $f = f_0$ ， $X_L = X_C$ ．电流最大，阻抗最小。在这种状态下，该电路可以作为一个接收电路。

平行的LC电路

在并联LC电路中，电感和电容并联，如图所示。

并联电路中不同元件两端的电压是相同的。因此两端的电压等于电感上的电压和电容上的电压。

$\begin{align*} V = V_L = V_C \end{align*}$

现在，通过并联LC电路的总电流等于通过电感的电流和通过电容的电流之和。

$\begin{align*} i = i_L + i_C \end{align*}$

并联LC电路的谐振

在谐振条件下，当感应电抗( $X_L$ )等于容抗( $X_C$ )时，无功支路电流相等而相反。因此，它们相互抵消，从而在电路中产生最小电流。在这种状态下，总阻抗是最大的。

谐振频率为

${对齐*}f_0 = \ \开始压裂{\ omega_0}{2 \π}= \压裂{1}{2 \π\√{LC}}{对齐*}\结束$

给出了并联LC电路的阻抗

${对齐*}\ \开始开始{分裂}Z_L_C_ (_P_a_r_a_l_l_e_l_) = \压裂{Z_L Z_C} {Z_L + Z_C} \ & = \压裂{j \ωL \压裂{1}{j \ωC}} {j \ωL + \压裂{1}{j \ωC}} \ & = \压裂{\压裂{L} {C}}{\压裂{- \ω^ 2 LC + 1} {j \ωC}} \ & = \压裂{j \ωL}{1 - \ω^ 2 LC} \ \{分裂}\{对齐*}结束结束$

角共振频率是 $\ omega_0 = \压裂{1}{\ sqrt {LC}}$ ，则阻抗变为

（2） $\{方程*}开始Z_L_C(\ω)_ (_p_a_r_a_l_l_e_l_) = - j(\压裂{1}{C})(\压裂{\ω}{\ω^ 2 - \ omega_0 ^ 2})结束\{方程*}$

因此在共振条件时 $ω= \ \ omega_0$ 总的电阻抗Z将是无限的，并提供给并行LC电路的电流最小( $I = {V} {Z}$ ）.

因此，并联LC电路与负载串联时，相当于谐振频率处阻抗无穷大的带阻滤波器。并联LC电路与负载并联起带通滤波器的作用。

频率低于谐振频率，即f0, X_l> > X_C．因此电路是电感的。
频率高于谐振频率，即f>f₀, X_C> > X_l．因此电路是电容性的。
在共振频率，即f = f₀, X_l= X_C时，电流最小，阻抗最大。在这种状态下，该电路可以作为一个拒绝电路。

LC电路方程

电流电压方程

初始条件:

$\begin{align*} I(0) = I_0 sin\phi \end{align*}$

$\begin{align*} V(0) = -\omega_0 L I_0 sin\phi \end{align*}$

振动:

$I(t) = i_0sin (t + phi) \end{align*}$

$\{对齐*}开始V (t) = \√6{\压裂{L} {C}} I_0罪(t + \ \ omega_0φ)\{对齐*}$

LC电路微分方程

${对齐*}\ \开始压裂{d ^ 2我(t)} {dt ^ 2} + \压裂{1}{LC}我(t) = 0 \{对齐*}$

$\{对齐*}开始S ^ 2 (t) + \压裂{1}{LC}我(t) = 0 \{对齐*}$

$\{对齐*}开始S ^ 2 + \ omega_0 ^ 2 = 0 \ \,(在那里,\ω= \ omega_0 = \压裂{1}{\ sqrt {LC}})结束\{对齐*}$

串联LC电路的阻抗

$\{对齐*}开始Z_L_C(\ω)_ (_s_e_r_i_e_s_) = j L(\压裂{\ω^ 2 - \ omega_0 ^ 2}{\ω})结束\{对齐*}$

并联LC电路的阻抗

$\{对齐*}开始Z_L_C(\ω)_ (_p_a_r_a_l_l_e_l_) = - j(\压裂{1}{C})(\压裂{\ω}{\ω^ 2 - \ omega_0 ^ 2})结束\{对齐*}$

设置时间

LC电路可以作为一个电谐振器，并存储在电场和磁场之间以称为谐振频率振荡的能量。因为任何振荡系统在某一时刻达到稳定状态，称为设定时间。

响应减小并在其稳态值上趋于稳定，并且此后保持在其最终值的+- 2%内所需的时间称为设定时间。

LC电路电流

假设 $我(t)$ 为流过电路的瞬时电流。通过电感的电压降用电流表示 $V = L \frac{dI(t)} {dt}$ 电容上的电压降是 $V = {Q}{C}$ ，其中Q是存储在电容器正极板上的电荷。

根据基尔霍夫电压定律，在一个闭环中，各分量的电势降之和等于零。

（3） $L \ \开始{方程*}压裂{dI (t)} {dt} + \压裂{Q} {C} = V \{方程*}结束$

上面的方程除以L然后对t求导，就得到

${对齐*}\ \开始压裂{d ^ 2我(t)} {dt ^ 2} + \压裂{d} {dt} \压裂{Q} {LC} = \压裂{dV} {dt} \{对齐*}结束$

${对齐*}\ \开始压裂{d ^ 2我(t)} {dt ^ 2} + \压裂{1}{LC} \压裂{d} {dt} (It) = 0 (, Q =) \{对齐*}结束$

${对齐*}\ \开始压裂{d ^ 2我(t)} {dt ^ 2} + \压裂{1}{LC}我(t) = 0 \{对齐*}$

（4） ${方程*}\ \开始压裂{d ^ 2我(t)} {dt ^ 2} = - \压裂{1}{LC}我(t) \{方程*}$

现在在一个简单的电流谐波振动形式为:

（5）

在哪里 $I_0 > 0$ 和 $\φ$ 是常数。

将式(5)的值代入式(4)得到:

${对齐*}\ \开始压裂{d ^ 2} {dt ^ 2} I_0罪(\ \φωt +) = - \压裂{1}{LC} I_0罪(\ \φωt +) \{对齐*}$

$\开始{对齐*}\压裂{d} {dt}[\压裂{d} {dt} I_0罪(\ \φωt +)] = - \压裂{1}{LC} I_0罪(\ \φωt +) \{对齐*}$

${LC}I_0 sin(t+ phi) [\frac{d}{dx} sinax = acosax] \end{align*}$

${LC}I_0 sin(t+ phi) [\frac{d}{dx} cos ax = -asinax] \end{align*}$

$开始\{对齐*}-ω^ 2 = \ \压裂{1}{LC} \{对齐*}结束$

（6）

因此，由上式可知，LC电路是一个振荡电路，其振荡频率为谐振频率。

LC电路电压

现在根据公式(3)，电感两端的感应电压是负的电容两端的电压。

$\{对齐*}开始V = - l \压裂{dI (t)} {dt} \{对齐*}结束$

由式(5)代入电流方程，可得

${对齐*}\ \开始开始{分裂}V (t) = - L \压裂{d} {dt} [I_0 cos(\ \φωt + )] \ &= - L I_0 \压裂{d} {dt} [cos(\ωt + \φ )] \ &= - L I_0(-ω\罪(\ \φωt +)] \ & = \ωL I_0(罪(\ \φωt +)] \ & = \压裂{1}{\ sqrt {LC}} L I_0(罪(\ \φωt +)](,ω= \ \压裂{1}{\ sqrt {LC}}) \ \ V (t) = \√6 \压裂{L} {C} I_0(罪(t + \phi)] \ \end{split} \end{align*}$

换句话说，当电流为零时，电压达到最大值，反之亦然。电压振荡的幅度等于电流振荡的幅度乘以 $大概\ \压裂{L} {C}$ ．

LC电路的传递函数

的传递函数从输入电压到电容间的电压为

${对齐*}\ \开始开始{分裂}H_C (s) = \压裂{V_C (s)} {V_i_n (s)} \ & = \压裂{Z_C} {Z_C + Z_L} \ & = \压裂{\压裂{1}{j \ωC}} {j \ωL + \压裂{1}{j \ωC}} \ & = \压裂{\压裂{1}{j \ωC}}{\压裂{j ^ 2 \ω^ 2 LC + 1} {j \ωC}} \ & = \压裂{1}{- \ω^ 2 LC + 1} \ \ H_C (s) = \压裂{1}{1 - \ω^ 2 LC} (, j ^ 2 = 1) \ \{分裂}\{对齐*}结束结束$

同理，从输入电压到电感间电压的传递函数为

${对齐*}\ \开始开始{分裂}H_L (s) = \压裂{V_L (s)} {V_i_n (s)} \ & = \压裂{Z_L} {Z_C + Z_L} \ & = \压裂{j \ωL} {j \ωL + \压裂{1}{j \ωC}} \ & = \压裂{j \ωL}{\压裂{j ^ 2 \ω^ 2 LC + 1} {j \ωC}} \ & = \压裂{j ^ 2 \ω^ 2 LC}{- \ω^ 2 LC + 1} \ \ H_L (s) = - \压裂{\ω^ 2 LC}{1 - \ω^ 2 LC} \ \{分裂}\{对齐*}结束结束$

LC电路的自然响应

我们假设电容器最初完全放电，开关(K)保持断开很长一段时间，在t=0时关闭。

在t = 0^{- - - - - -}开关K开

这是一个初始条件，因此我们可以这样写，

$\{对齐*}开始I_L (0 ^ -) = 0 = I_L(0 ^ +) \{对齐*}$

$\{对齐*}开始V_C (0 ^ -) = 0 = V_C(0 ^ +) \{对齐*}$

因为通过电感的电流和通过电容的电压不可能瞬间改变。

对于所有t > = 0⁺开关K关闭

现在电压源被引入电路中。因此对电路施加KVL，我们得到，

${对齐*}\ \开始开始{分裂}- V_L (t) - V_C (t) + V_S = 0 \ \ V_L (t) + V_C (t) = V_S \ \ L \压裂{di (t)} {dt} + \压裂{1}{C} \ int i (t) dt = V_S \ \ \{分裂}\{对齐*}结束结束$

这里通过电容器的电压用电流表示。

上式称为积分微分方程。对上式两边关于t求导，得到，

$L \ \{对齐*}开始压裂{d ^ 2我(t)} {dt ^ 2} + \压裂{我(t)} {C} = 0 \{对齐*}结束$

（7） ${方程*}\ \开始压裂{d ^ 2我(t)} {dt ^ 2} + \压裂{1}{LC}我(t) = 0 \{方程*}$

式(7)为LC电路的二阶微分方程。

取代 $dt ^ \压裂{d ^ 2} {2}$ 和s²我们得到了,

（8） $\{方程*}开始S ^ 2 (t) + \压裂{1}{LC}我(t) = 0 \{方程*}$

上面这个方程的根是

$\{对齐*}S_1开始,_2 = \压裂{\√6{\压裂{4}{LC}}}{{2}} = \压裂{\压裂{2}{\ sqrt {LC}}}{2} = \压裂{1}{\ sqrt {LC}}{对齐*}\结束$

在这里, $\压裂{1}{\ sqrt {LC}}$ 为振荡的固有频率。

LC电路频率响应

用阻抗法:频率响应系统的一般方程为

$(\ \{对齐*}开始Hω)= \压裂{Y(\ω)}{X(\ω)}= \压裂{V_o_u_t} {V_i_n} \{对齐*}结束$

假设输出电压发生在电容器两端，对上述电路应用电位分压器规则

（9） ${方程*}V_o_u_t = V_i_n \ \开始压裂{Z_C} {Z_C + Z_L} \{方程*}结束$

在那里, $Z_C =$ 电容阻抗 ${j \ C}$

$Z_L =$ 电感的阻抗 $= {j \ L}$

代入方程(9)，得到

${对齐*}\ \开始开始{分裂}\压裂{V_o_u_t} {V_i_n} \ & = \压裂{Z_C} {Z_C + Z_L} \ & = \压裂{\压裂{1}{j \ωC}} {j \ωL + \压裂{1}{j \ωC}} \ & = \压裂{\压裂{1}{j \ωC}}{\压裂{j ^ 2 \ω^ 2 LC + 1} {j \ωC}} \ & = \压裂{1}{- \ω^ 2 LC + 1} (, j ^ 2 = 1) \ \ \{分裂}\{对齐*}结束结束$

（10) $H(\ \{方程*}开始ω)= \压裂{V_o_u_t} {V_i_n} = \压裂{1}{1 - \ω^ 2 LC} \{方程*}结束$

假设输出电压发生在电感上，对上述电路应用电位分压器规则

（11） ${方程*}V_o_u_t = V_i_n \ \开始压裂{Z_L} {Z_C + Z_L} \{方程*}结束$

替代的价值 $Z_C$ 和 $Z_L$ 在上面的方程中，我们得到

${对齐*}\ \开始开始{分裂}\压裂{V_o_u_t} {V_i_n} \ & = \压裂{Z_L} {Z_C + Z_L} \ & = \压裂{j \ωL} {j \ωL + \压裂{1}{j \ωC}} \ & = \压裂{j \ωL}{\压裂{j ^ 2 \ω^ 2 LC + 1} {j \ωC}} \ & = \压裂{j ^ 2 \ω^ 2 LC}{- \ω^ 2 LC + 1} \ \{分裂}\{对齐*}结束结束$

（12） $H(\ \{方程*}开始ω)= \压裂{V_o_u_t} {V_i_n} = - \压裂{\ω^ 2 LC}{1 - \ω^ 2 LC} \{方程*}结束$

式(10)和(12)表示lc电路的频率响应的复数形式。

LC电路微分方程

$L \ \{对齐*}开始压裂{di (t)} {dt} + \压裂{1}{C} \ int我V (t) dt = \{对齐*}$

上式称为积分微分方程。这里通过电容器的电压用电流表示。

现在，对等式两边关于t微分，我们得到，

$L \ \{对齐*}开始压裂{d ^ 2我(t)} {dt ^ 2} + \压裂{我(t)} {C} = 0 \{对齐*}结束$

（13） ${方程*}\ \开始压裂{d ^ 2我(t)} {dt ^ 2} + \压裂{1}{LC}我(t) = 0 \{方程*}$

上式为LC电路的二阶微分方程。

取代 $dt ^ \压裂{d ^ 2} {2}$ 和s²我们得到了,

（14） $\{方程*}开始S ^ 2 (t) + \压裂{1}{LC}我(t) = 0 \{方程*}$

现在, $\ omega_0 = \压裂{1}{\ sqrt {LC}}$ 因此, $\ omega_0 ^ 2 = \压裂{1}{LC}$ ，代入上面的方程，

$\{对齐*}开始S ^ 2 (t) + \ omega_0 ^ 2我(t) = 0 \{对齐*}$

$\begin{align*} S^2 + \omega_0^2 = 0 \end{align*}$

LC电路充放电

在LC电路中，电感和电容都是存储元件，即电感在其内部存储能量磁场(B)，取决于通过它的电流，电容将能量存储在电场(E)在导电板之间，取决于穿过它的电压。

假设最初，电容器包含一个电荷q，那么电路的所有能量最初都存储在电容器的电场中。储存在电容器中的能量是

${对齐*}\ \开始开始{分裂}E_C = \压裂{1}{2}简历^ 2 \ & = \压裂{1}{2}C \压裂{问^ 2}{C ^ 2} \ & = \压裂{1}{2}\压裂{问^ 2}{C ^ 2} (V = \压裂{q} {C}) \ \{分裂}\{对齐*}结束结束$

现在，如果一个感应器连接在一个带电的电容器上，电容上的电压会导致电流流过感应器，从而产生一个磁场在电感周围，电容开始放电，通过电容的电压降低到零，因为电荷被电流耗尽( $I = \压裂{q} {t}$ ）.

现在电容器完全放电，所有的能量都存储在电感的磁场中。此时，电流达到最大值，电感中存储的能量为( $E_L = \frac{1}{2} LI^2$ ．

由于没有电阻器，电路中没有能量损耗。因此，电容中储存的最大能量等于电感中储存的最大能量。

在这个瞬间，存储在电感器周围的磁场中的能量根据电流感应到线圈上的电压法拉第电磁感应定律（ $e = N \frac{d\phi}{dt}$ ）.这种感应电压导致电流流过电容器，电容器开始以极性相反的电压充电。

这个充电和放电过程将再次开始，电流将以相反的方向流过电感器。

因此，LC电路的充放电可以是循环的方式，能量在电容和电感之间来回振荡，直到内阻使振荡消失。

图中显示了充放电电压和电流波形。

LC电路的应用

LC电路的应用包括:

LC电路的应用主要涉及许多电子设备，特别是无线电设备，如发射机、无线电接收机、电视接收机、放大器、振荡器、滤波器、调谐器和频率混频器。
LC电路也用于产生特定频率的信号，或在特定频率接收来自更复杂信号的信号。
LC电路的主要目的通常是以最小的阻尼振荡，因此电阻尽可能地低。
串联谐振电路提供电压放大。
并联谐振电路提供当前的放大。

阻尼是什么?

阻尼是振荡或波动的振幅随时间的减少。共振是振幅随阻尼减小而增大。