奈奎斯特稳定性判据:它是什么?(加上Matlab的例子)

什么是奈奎斯特稳定标准?

奈奎斯特稳定标准(或奈奎斯特标准)被定义为使用的图形技术控制工程用于确定动力系统的稳定性。随着奈奎斯特稳定标准仅考虑奈奎斯特图开环控制系统,可以应用,而无需明确计算闭环或开环系统的极点和零。

结果,奈奎斯特标准可以应用于由非Rational函数(例如具有延迟的系统)定义的系统。不像波德图,它可以处理右半平面中具有奇异的传递函数。

什么是奈奎斯特标准

奈奎斯特稳定标准可以表示为:

z = n + p

地点:

  • Z = s平面右侧(RHS)的1+G(s)H(s)根数(也称特征零方程)
  • N =临界点1+j0在顺时针方向的圈数
  • P =开环传递函数(OLTF)的极点数[即。s平面RHS中的G(s)H(s)]。

上述条件(即Z=N+P)适用于所有稳定或不稳定的系统。

现在我们将用奈奎斯特稳定性判据的例子来解释这个判据。

奈奎斯特稳定标准例子

奈奎斯特准则例1

考虑一个开环传递函数(OLTF)为G (s) H (s) = \ dfrac {120} {(s) (s + 6) (s + 8)}。它是稳定系统还是不稳定系统。也许你们大多数人会说这是一个不稳定的系统,因为一个极点在+2。然而,注意稳定性取决于闭环传递函数的分母。

如果闭环传递函数(也称为特性方程也称为)的任何根的根部是S平面的RH,则系统不稳定。因此,在上面的情况下,+2的杆将尝试将系统带到不稳定,但系统可能是稳定的。这里奈奎斯特图是有用的,无法找到稳定性。

根据奈奎斯特理论Z=N+P(对于任何系统,无论它是稳定的还是不稳定的)。

对于稳定的系统,Z = 0,即无特征方程的根部应该是RHS。

所以对于稳定的系统n =- - - - - -P.

上述系统的Nyquist图如下所示

奈奎斯特情节例子

Nyquist绘图Matlab代码

s =特遣部队(s) G1 = 120 / ((2) * (s + 6) * (s + 8))尼奎斯特(G1,“红色”)

根据该图,奈奎斯特曲线围绕重点- - - - - -1 + J0(也称为关键点)一次以计数器时钟明智的方向。因此n =- - - - - -1,在OLTF中,一个杆(AT +2)位于RHS,因此p = 1。你可以看到n =- - - - - -P,因此系统是稳定的。

如果你能找到特征方程的根,它就是- - - - - -10.3,- - - - - -0.86±j1.24。(即系统是稳定的),Z=0。可以提出一个问题,如果特征方程的根可以找到,那么我们可以在此基础上评论稳定性,那么Nyquist图需要什么。答案是,在没有软件的时候,奈奎斯特图是非常有用的。

奈奎斯特准则例2

现在拿另一个例子:G (s) H (s) = \ dfrac {100} {(s) (s + 6) (s + 8)}。

Nyquist图如下:

奈奎斯特图

Nyquist绘图Matlab代码

s =特遣部队(s) G2 = 100 / ((2) * (s + 6) * (s + 8))尼奎斯特(G2,“红色”)

由图可知,N=- - - - - -1.(临界点的奈奎斯特情节的环节是一个计数器时钟方向的一个)

在这个例子中P=1。(RHS OLTF单极)

所以,n =- - - - - -P.因此系统是稳定的。

(特征方程的根是- - - - - -10.04,- - - - - -1.72,- - - - - -0.23)

奈奎斯特准则例3

现在拿另一个例子:g(s)h(s)= \ dfrac {50} {(s-2)(s + 6)(s + 8)}。

这里P = 1。

Nyquist图如下:

奈奎斯特图

Nyquist绘图Matlab代码

s =特遣部队(s) G3 = 50 / ((2) * (s + 6) * (s + 8))尼奎斯特(G3,“红色”)

可以看到N=0。(不包围临界点)。由于N不等于-P,因此系统是不稳定的。(特征方程的根是- - - - - -9.32,- - - - - -3.92, 1.255)即Z=1(在RHS上1.255的极点)。

因此,您可以理解,条件z = n + p对所有系统有效。

奈奎斯特准则例4

现在考虑g(s)h(s)= \ dfrac {336} {(s-2)(s + 6)(s + 8)}。

如果您将绘制其奈奎斯特图,则会通过关键点(-1 + j0)。在这种情况下,系统略微稳定。

在这种情况下,你可以理解N是没有定义的(在这种情况下,特征方程的两个根在s平面的原点,一个根在s平面的左手边。因此系统将是略微稳定的)。

在上面的所有示例中,您可以看到分母是相同的,但分子是不同的,或者说明分子是可变的。所以,让我们考虑以下开环传输功能:g(s)h(s)= \ dfrac {k} {(s-2)(s + 6)(s + 8)}。

如果您将把Routh Hurwitz标准应用于特征方程1 + G(s),那么您将发现'k'为96

所以,现在您可以理解为什么系统中的系统1- - - - - -4是稳定的,不稳定或略微稳定的。

可以画出上述传递函数的根轨迹,为:

奈奎斯特准则

Nyquist绘图Matlab代码

s =特遣部队(s) G4 = 1 / ((2) * (s + 6) * (s + 8)) rlocus (G4)

根位点的分支从2、-6、-8开始,K=0。因此可以看出,对于K<96,闭环传递函数的一个极点在s平面的RHS处,因此对于K<96系统是不稳定的。系统稳定在96

如果您将决定k = 337,则闭环传输功能的两个极是复杂的,一个杆是真实的;但系统将不稳定。为了进一步理解,您可以参考文章根基因座

请注意以下声明:

系统稳定时增益裕度(GM)和相位裕度(PM)为正,系统不稳定时为负,系统边缘稳定时两者均为零。GM和PM越高,系统越稳定(这就是原因,GM和PM的测量称为相对稳定性)。

但如果没有oltf的杆位于S平面的磁线中,则上述陈述是正确的。在上述所有实施例中,OLTF的一极是+2;在这种类型的系统中,奈奎斯特稳定标准是有帮助的。

现在我们将占用更多例子:

奈奎斯特准则例5

考虑G (s) H (s) = \ dfrac {(s + 1) (s + 2)} {(s 3)(4)}。

其Nyquist图如下:

奈奎斯特马特布

Nyquist绘图Matlab代码

s = tf('s')g5 =((s + 1)*(s + 2))/((s-3)*(s-4))奈奎斯特(g5,'红色')

根据传递函数P=2 (RHS上OLTF的两极)

根据Nyquist Plot n = 0

因此z = n + p = 2;意味着在S面的RHS中闭环传递函数的两个极点,因此系统不稳定。

奈奎斯特准则例6

考虑g(s)h(s)= \ dfrac {10(s + 1)(s + 2)} {(s-3)(s-4)}。

其Nyquist图如下:

奈奎斯特图

Nyquist绘图Matlab代码

s = tf('s')g6 =(10 *(s + 1)*(s + 2))/((s-3)*(s-4))nyquist(g6,'红色')

根据传递函数P=2 (RHS上OLTF的两极)

根据奈奎斯特图N=- - - - - -2

因此Z = N + P = 0;说明闭环传递函数在s平面RHS中没有极点,因此系统是稳定的。

请注意,我们使用了公式Z=N+P,其中N=临界点1+j0在顺时针方向的圈数。在一些书中,你可以找到公式Z=N+P,其中N=临界点1+j0在逆时针方向的环行数。两者都是正确的。

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关于Vipin Jain博士

Vipin Jain博士于1992年获得了1992年的工程学士,从纳格尔大学,2007年是一位技术大师,博士学位和博士学位。2017年从德里大学。他一直在学习,工作和教导电厂超过25年。自2007年12月以来,他一直担任电气工程科技工程部电气工程系的教师员工。英雄联盟竞彩网

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