奈奎斯特稳定性判据:它是什么?(加上Matlab的例子)

什么是奈奎斯特稳定标准？

奈奎斯特稳定标准(或奈奎斯特标准）被定义为使用的图形技术控制工程用于确定动力系统的稳定性。随着奈奎斯特稳定标准仅考虑奈奎斯特图的开环控制系统，可以应用，而无需明确计算闭环或开环系统的极点和零。

结果，奈奎斯特标准可以应用于由非Rational函数（例如具有延迟的系统）定义的系统。不像波德图，它可以处理右半平面中具有奇异的传递函数。

奈奎斯特稳定标准可以表示为：

z = n + p

地点:

• Z = s平面右侧(RHS)的1+G(s)H(s)根数(也称特征零方程)
• N =临界点1+j0在顺时针方向的圈数
• P =开环传递函数(OLTF)的极点数[即。s平面RHS中的G(s)H(s)]。

上述条件(即Z=N+P)适用于所有稳定或不稳定的系统。

现在我们将用奈奎斯特稳定性判据的例子来解释这个判据。

奈奎斯特稳定标准例子

奈奎斯特准则例1

考虑一个开环传递函数(OLTF)为它是稳定系统还是不稳定系统。也许你们大多数人会说这是一个不稳定的系统，因为一个极点在+2。然而，注意稳定性取决于闭环传递函数的分母。

如果闭环传递函数（也称为特性方程也称为）的任何根的根部是S平面的RH，则系统不稳定。因此，在上面的情况下，+2的杆将尝试将系统带到不稳定，但系统可能是稳定的。这里奈奎斯特图是有用的，无法找到稳定性。

根据奈奎斯特理论Z=N+P(对于任何系统，无论它是稳定的还是不稳定的)。

对于稳定的系统，Z = 0，即无特征方程的根部应该是RHS。

所以对于稳定的系统n =- - - - - -P.

上述系统的Nyquist图如下所示

Nyquist绘图Matlab代码

s =特遣部队(s) G1 = 120 / ((2) * (s + 6) * (s + 8))尼奎斯特(G1,“红色”)

根据该图，奈奎斯特曲线围绕重点- - - - - -1 + J0（也称为关键点）一次以计数器时钟明智的方向。因此n =- - - - - -1，在OLTF中，一个杆（AT +2）位于RHS，因此p = 1。你可以看到n =- - - - - -P，因此系统是稳定的。

如果你能找到特征方程的根，它就是- - - - - -10.3,- - - - - -0.86±j1.24。(即系统是稳定的)，Z=0。可以提出一个问题，如果特征方程的根可以找到，那么我们可以在此基础上评论稳定性，那么Nyquist图需要什么。答案是，在没有软件的时候，奈奎斯特图是非常有用的。

奈奎斯特准则例2

现在拿另一个例子：

Nyquist图如下:

Nyquist绘图Matlab代码

s =特遣部队(s) G2 = 100 / ((2) * (s + 6) * (s + 8))尼奎斯特(G2,“红色”)

由图可知，N=- - - - - -1.（临界点的奈奎斯特情节的环节是一个计数器时钟方向的一个）

在这个例子中P=1。(RHS OLTF单极)

所以，n =- - - - - -P.因此系统是稳定的。

(特征方程的根是- - - - - -10.04,- - - - - -1.72，- - - - - -0.23）

奈奎斯特准则例3

现在拿另一个例子：

这里P = 1。

Nyquist图如下:

Nyquist绘图Matlab代码

s =特遣部队(s) G3 = 50 / ((2) * (s + 6) * (s + 8))尼奎斯特(G3,“红色”)

可以看到N=0。(不包围临界点)。由于N不等于-P，因此系统是不稳定的。(特征方程的根是- - - - - -9.32，- - - - - -3.92, 1.255)即Z=1(在RHS上1.255的极点)。

因此，您可以理解，条件z = n + p对所有系统有效。

奈奎斯特准则例4

现在考虑

如果您将绘制其奈奎斯特图，则会通过关键点（-1 + j0）。在这种情况下，系统略微稳定。

在这种情况下，你可以理解N是没有定义的(在这种情况下，特征方程的两个根在s平面的原点，一个根在s平面的左手边。因此系统将是略微稳定的)。

在上面的所有示例中，您可以看到分母是相同的，但分子是不同的，或者说明分子是可变的。所以，让我们考虑以下开环传输功能：

如果您将把Routh Hurwitz标准应用于特征方程1 + G（s），那么您将发现'k'为96

所以，现在您可以理解为什么系统中的系统1- - - - - -4是稳定的，不稳定或略微稳定的。

可以画出上述传递函数的根轨迹，为:

Nyquist绘图Matlab代码

s =特遣部队(s) G4 = 1 / ((2) * (s + 6) * (s + 8)) rlocus (G4)

根位点的分支从2、-6、-8开始，K=0。因此可以看出，对于K<96，闭环传递函数的一个极点在s平面的RHS处，因此对于K<96系统是不稳定的。系统稳定在96

如果您将决定k = 337，则闭环传输功能的两个极是复杂的，一个杆是真实的;但系统将不稳定。为了进一步理解，您可以参考文章根基因座．

请注意以下声明:

系统稳定时增益裕度(GM)和相位裕度(PM)为正，系统不稳定时为负，系统边缘稳定时两者均为零。GM和PM越高，系统越稳定(这就是原因，GM和PM的测量称为相对稳定性)。

但如果没有oltf的杆位于S平面的磁线中，则上述陈述是正确的。在上述所有实施例中，OLTF的一极是+2;在这种类型的系统中，奈奎斯特稳定标准是有帮助的。

现在我们将占用更多例子：

奈奎斯特准则例5

考虑

其Nyquist图如下:

Nyquist绘图Matlab代码

s = tf（'s'）g5 =（（s + 1）*（s + 2））/（（s-3）*（s-4））奈奎斯特（g5，'红色'）

根据传递函数P=2 (RHS上OLTF的两极)

根据Nyquist Plot n = 0

因此z = n + p = 2;意味着在S面的RHS中闭环传递函数的两个极点，因此系统不稳定。

奈奎斯特准则例6

考虑

其Nyquist图如下:

Nyquist绘图Matlab代码

s = tf（'s'）g6 =（10 *（s + 1）*（s + 2））/（（s-3）*（s-4））nyquist（g6，'红色'）

根据传递函数P=2 (RHS上OLTF的两极)

根据奈奎斯特图N=- - - - - -2

因此Z = N + P = 0;说明闭环传递函数在s平面RHS中没有极点，因此系统是稳定的。

请注意，我们使用了公式Z=N+P，其中N=临界点1+j0在顺时针方向的圈数。在一些书中，你可以找到公式Z=N+P，其中N=临界点1+j0在逆时针方向的环行数。两者都是正确的。