Schrödinger波动方程:推导与解释英雄联盟菠菜app - 英雄联盟菠菜app,英雄联盟赌钱网站,英雄联盟彩票官网首页

内容

什么是薛定谔方程

的Schrödinger方程式（也称为薛定谔波动方程）是一种局部微分方程，其通过波函数描述量子机械系统的动态。通过求解Schrödinger方程，可以检索这些系统的轨迹，定位和能量。

亚原子粒子的所有信息都编码在波函数中。波函数将满足并可以用薛定谔方程求解。薛定谔方程是本科生物理学中引入的基本公理之一。在大学的电气工程教学大纲中引入Schrödinger方程也越来越普遍，因为它适用于英雄联盟竞彩网半导体．

不幸的是，在这两种情况下，它只是作为一个公设声明，而从未以任何有意义的方式导出。这是相当令人不满意的，因为几乎所有的量子物理本科教学都是建立在这个基础上的。在本文中，我们将从头推导出这个方程，并且我将尽力展示所采取的每一步。

有趣的是，我们将制作的论点与Schrödinger本人所采取的争论一样，所以你可以看到一条巨人在他的时间做出的思考。作为提醒，这里是其所有美容中的三维（对于非相对论粒子）的时间依赖的Schrödinger方程：

量子物理和波浪

每个人都喜欢抛弃经典物理学——但它在很长一段时间里为我们提供了很好的服务(想想牛顿力学、麦克斯韦方程和狭义相对论)。

然而，正如我们之前的文章所示，与当时已知的物理学相比，世纪之交的实验结果并不是那么耀眼。我们的文章双缝实验在某种程度上，光电效应是实验结果，与对时间的知识不太匹配。

但为什么？简单地说，在古典物理中，存在两个实体，粒子和波。这两个实体的特点可以描述如下:

粒子:带有质量的能量和动量的局域束 $m$ ．

波浪：干扰随着时间的推移传播空间旅行。它们可以用波函数描述 $vec {\ psi (\ r}, t)$ 描述了空间和时间上的波。

这让我们想到在我们的光电发射文章。我们发现电子表明两个都这些属性。这与当时已知的理解完全矛盾，因为这两个实体被认为是相互排斥的。

疯狂对吧?大约在这个时候，一些真正有影响力的物理学家开始意识到知识上的差距，当路易斯·德·布罗意将(粒子的)动量与(波的)波长联系起来时，一个重大的突破出现了

$p = h/\lambda。结束\{方程*}$

此外，来自光电发射我们知道光子的能量吸收和发射(仍不确定是粒子还是波)有以下能量:

$E = hf = hbar \omega \end{equation*}$

在哪里 $\百巴= h / 2 \π$ 和 $\ω= 2π\ f$ ．我们现在处于完全相同的阶段，谢尔丁斯在得出了着名的方程之前。但我们在哪里开始？嗯，我们知道电子和光子显示出波样和颗粒状的行为。从一个通用方程开始，所有波浪都应该服从，然后在顶部引入粒子物理以查看是否存在结果。

如何推导波动方程

干扰 $vec {\ psi (\ r}, t)$ 服从波动方程。记住，电子表现出波状行为，并带有电磁电荷。因此，现在让我们来看看电磁场。在这种情况下，应用麦克斯韦方程，这是它们的全部荣耀:

$\ begin {aligne *} \ nabla \ times \ vec {e}＆= - \ frac {\ partial {\ vec {b}}} {\ partial {t}} \\ \ nabla \ times \ vec {b}＆= - \ mu_0 \ left（\ vec {j} + \ epsilon_0 \ frac {\ partial {\ vec {e}}} {\ partial {t}}} {\ partial {t}} \ oft）\\ \ nabla \ cdot \ vec {e}＆= \ frac {\ rho} {\ epsilon_0} \\ \ nabla \ cdot \ vec {b}＆= 0 \ end {alight *}$

在哪里 $c$ 是真空中的光速， $vec {E} \$ 电场是和吗 $vec {B} \$ 是磁场。上面的第一等式是发电机，电感器和变压器的基础，是法拉第法的实施例。

另外，其中一个含义 ${B} = 0$ 是没有存在磁垄断。了解这些方程的推导以及它们背后的物理意义使其成为一个圆满的工程师。现在，让我们通过将CURL应用于等式4来推导出任何电磁波必须服从任何电磁波：

$\ begin {aligne *} \ nabla \ times \ vec {e}＆= - \ frac {\ partial {\ vec {b}}} {\ partial {t}} \\ \意味着\ nabla \ times（\ nabla \时代\ vec {e}）＆= - \ frac {\ partial {（\ nabla \ times \ vec {b}）}} {\ partial {t}}}} {\ partial {t}} \\ \ iclies \ nabla \ times（\ nabla \ times \vec {e}）＆= - \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {\ partial ^ 2 {\ vec {e}}} {\ partial {}}} \ neat {senvent *}$

现在我们可以利用一个非常家庭（和轻松证明）矢量身份： $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ 在哪里 $T$ 是一些占位符矢量。现在申请我们的小方程式：

$\ begin {align *} \ nabla（\ nabla \ cdot \ vec {e}） - \ nabla ^ 2 \ vec {e}＆e}＆= - \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {\ partial ^ 2 {\ vec {e}}} {\ partial {t ^ 2}} \\ \意味着 - \ nabla ^ 2 \ vec {e}＆= - \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {\ partial ^ 2{\ vec {e}}} {\ partial {t ^ 2}} \\ \ nabla ^ 2 \ vec {e} - \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {\ partial ^ 2 {\ vec {e}}}} {\ partial {t ^ 2}}＆= 0 \ end {aligh *}$

我们得到的结果是三维的电磁波方程。这个方程不仅表现在电磁波中，而且也表现在声学、地震波、声波、水波和流体动力学中。

如何推导Schrödinger方程

波动方程的平面波解

从一维的波动方程开始(这真的很容易推广到三维，因为逻辑将适用于所有 $x, y$ 和 $z$ 方面。）：

$\ begin {等式*} \ frac {{\ partial ^ 2 {e}}} {\ partial ^ 2 {x}} = \ frac {1}} = \ frac {1}} = \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {{\ partial ^ 2 {e}}}}} {\ partial ^ 2 {t}} \ longrightarrow \ frac {{\ partial ^ 2 {e}} {\ partial ^ 2 {e}} - \ frac {1}} - \ frac {1}} - \ frac {1}} - \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {{\ partial ^ 2 {e}}} {\ partial ^ 2 {t}} = 0 \ end {等式*}$

这实际上是一个二阶偏微分方程，满足平面波解:

$E ^{i(kx - (t))} \text{(自己检查一下!)} \结束{方程*}$

我们从正常波力学所知的地方 $k = \压裂{2 \π}{\λ}$ 和 $\ omega = 2 \ pi f$ ．现在，让我们利用来自爱因斯坦和康普顿的工作，并替代光子的能量被给出 $\mathsf{E} = hbar \$ 从de-broglie那里 $p = h / \ lambda = \ hbar k$ ．我们可以进一步按摩平面波解为:

$\ begin {等式*} e（x，t）= e_0 e ^ {\ frac {i} {\ hbar}（px - \ mathsf {e} t）} \ end {公式*}$

这是描述光子的平面波方程。让我们将这个方程式替换为我们的波浪方程，看看我们发现了什么！

$左(\ \开始{对齐*}\压裂{{\部分^ 2{}}}{\部分^ 2 {x}} - \压裂{1}{c ^ 2} \压裂{{\部分^ 2{}}}{\部分^ 2 {t}} \右)E_0 e ^{\压裂{我}{\百巴}(px - \ mathsf {e} t)} & = 0 \ \ \暗示——\压裂{1}{\百巴^ 2}\离开(p ^ 2 - \压裂{\ mathsf {e} ^ 2} {c ^ 2} \右)E_0 e ^{\压裂{我}{\百巴}(px - \ mathsf {e} t)} & = 0结束\{对齐*}$

换句话说, $\ mathsf {e} ^ 2 = p ^ 2 c ^ 2$ 这很好，因为我们从狭义相对论中知道一个有质量的相对论粒子的总能量 $米$ 是:

${E}^2 = p^2c^2 + m^ 2c^ 4 \end{E}^2 = p^2c^2$

到目前为止，我们只讨论了没有质量的光子 $（m = 0）$ ！所以让我们扩展我们的理解，应用总相对论能量对于有质量的粒子(比如电子)，把我们的方程的名字改为 $\ psi.$ 因为我们是男人。

$\ begin {公式*} - \ frac {1} {\ hbar ^ 2} \ left（p ^ 2 - \ frac {\ mathsf {e} ^ 2} {c ^ 2} + m ^ 2c ^ 2 \右）\ psi e ^ {\ frac {i} {\ hbar}（px - \ mathsf {e} t）} = 0 \ end {equation *}$

现在，这种等式直接从代替光子中的平面波方程进入波浪方程。然而，由于我们现在希望能量来解决具有质量质量的粒子的总相对论能量，因此我们需要稍微改变波动方程。这是因为波动方程不应该完全适用于我们的新 $\ψ$ 描述粒子和波浪。我们现在可以解答为运营商获得上面的等式，并给出：

$左(\ \开始{方程*}\压裂{{\部分^ 2{}}}{\部分^ 2 {x}} - \压裂{1}{c ^ 2} \压裂{{\部分^ 2{}}}{\部分^ 2 {t}} - \压裂{m ^ 2 c ^ 2}{\百巴^ 2}\)\ Psi e ^{\压裂{我}{\百巴}(px - \ mathsf {e} t)} = 0结束\{方程*}$

波动方程中有质量粒子的求解

我们现在想对刚才描述的全能量做一些近似 $\ mathsf {E}$ 对于一个有动量和质量的粒子。我们稍微重新整理一下公式这样我们就可以用一些近似了。

$\开始{对齐*}\ mathsf {E} ^ 2 & = p c ^ 2 ^ 2 + m ^ 2 c ^ 4 \ \ \ mathsf {E} & = \ sqrt{\离开(p c ^ 2 ^ 2 + m ^ 2 c ^ 4 \对吧 )}\\ &= \ √6{\离开(c ^ 4(\压裂{p ^ 2} {c ^ 2} + m ^ 2) \ )}\\ &= \ √6{\离开(c ^ 4 m ^ 2(\压裂{p ^ 2} {m ^ 2 c ^ 2} + 1) \右)}\ \ & = mc ^ 2 \√{\离开(\压裂{p ^ 2} {m ^ 2 c ^ 2} + 1 \右)}\{对齐*}结束$

这种操纵的全部点是在表格中获得等式 $\ sqrt {1 + x}$ 因为如果我们采取泰勒系列扩展，我们得到：

${方程*}\ \开始sqrt {1 + x} \大约1 + \压裂{x}{2} - \压裂{x ^ 2}{8} + \压裂{x ^ 3}{16} +……结束\{方程*}$

什么时候 $x$ 很小，泰勒展开中唯一剩下的部分是 $O (1)$ 术语。在能量公式中， $x = \压裂{p ^ 2} {m ^ 2 c ^ 2} = \离开(\压裂{p} {mc} \右)^ 2$ ．我们可以利用这个事实 $P = mv \ll Mc$ 对于任何不以光速传播的东西(如果你发现任何不满足这个要求的东西，请找我)!所以这一项实际上可以归结为:

${对齐*}\ \开始mathsf {E} & = mc ^ 2 \√{左(\ \压裂{p ^ 2} {m ^ 2 c ^ 2} + 1 \对吧 )}\\ & \ 大约mc ^左(1 + 2 \ \压裂{1}{2}\压裂{p ^ 2} {m ^ 2 c ^ 2} \ )\\ & = mc ^ 2 + \压裂{p ^ 2} {2 m} = mc ^ 2 + E_{\文本{动能}}{对齐*}\结束$

在哪里

$\ begin {arearation *} e_ \ text {kinetic} = \ frac {1} {2} mv ^ 2 = \ frac {1} {2} \ frac {（mv）^ 2} {m} = \ frac {p^ 2} {2m} \结束{arearation *}$

是我们从高中物理学中看到的正常动能。现在从以前返回Wave函数，让我们现在输入这个新信息，看看我们最终有什么：

$\开始{对齐*}\ Psi (vec {r} \ t) & = \ Psi_0 e ^{\压裂{我}{\百巴}(vec {r} - p \ \ mathsf {e} t)} \ \ & = \ Psi_0 e ^{\压裂{我}{\百巴}(p vec {r} \ - mc ^ 2 t - E_{\文本{动能}}t)} \ \ & ^ = e{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \ Psi_0 e ^{\压裂{我}{\百巴}vec {r} - E_ (p \{\文本{动能}}t)} \ \ \{对齐*}结束$

我们现在已经将两项术语分开的原因是第一个术语 $e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t}$ (还是基于光速)将明显比第二项更具振荡性，而且不一定能描述我们所追寻的粒子波实体。为了巩固这种差异，让我们来确认一下:

${方程*}\ \开始Psi (vec {r} \ t) = e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \ Psi (vec {r} \ t) \{方程*}结束$

我们现在定义的地方：

${方程*}\ \开始psi (vec {r} \ t) = \ Psi_0 e ^{\压裂{我}{\百巴}vec {r} - E_ (p \{\文本{动能}}t)}。结束\{方程*}$

现在我们来求一阶和二阶偏导 $\ psi（\ vec {r}，t）$ 并看看我们最终的目标。首先：

$\ begin {arequation *} \ frac {\ partial {\ psi}} {\ partial t}} {\ partial t} = - \ frac {i} {\ hbar} mc ^ 2e ^ { - \ frac {i} {\ hbar} mc ^ 2t} \ psi（\ vec {r}，t）+ e ^ { - - \ frac {i} {\ hbar} mc ^ 2t} \ frac {\ partial \ psi（\ vec {r}，t）} {\ partialt} \结束{等式*}$

第二个:

$\ begin {arearation *} \ frac {\ partial ^ 2 {\ psi}} {\ partial t ^ 2} = \ left（ - \ frac {m ^ 2c ^ 4} {\ hbar ^ 2} e ^ { - \FRAC {i} {\ hbar} mc ^ 2t} \ psi - \ frac {2i} {\ hbar} mc ^ 2e ^ { - \ frac {i} {\ hbar} mc ^ 2t} \ frac {\ partial \ psi} {\ partial t} \右）+ e ^ { - \ frac {i} {\ hbar} mc ^ 2t} \ frac {\ partial ^ 2 \ psi} {\ partial t ^ 2} \ end {arearation *}$

我们应该记住，最后一项的二阶偏导数是很小的，因为没有 $C ^ 2$ 携带幅度的术语，因此通过近似，实际的第二衍生物由：

$\ begin {aligne *} \ frac {\ partial ^ 2 {\ psi}} {\ partial t ^ 2} \ intave \ left（ - \ frac {m ^ 2c ^ 4} {\ hbar ^ 2} e ^ { -\ frac {i} {\ hbar} mc ^ 2t} \ psi - \ frac {2i} {\ hbar} mc} {\ hbar} mc ^ 2e ^ { - \ frac {i} {\ hbar} mc ^ 2t} \ frac {\ partial \psi} {\ partial t} \右）\结束{align *}$

我们取这两个偏导数的原因是，我们可以把它们代入之前描述波函数的方程:

$\ begin {公式*} \ left（\ frac {{\ partial ^ 2 {}} {\ partial ^ 2 {x}} - \ frac {1}} - \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {{\ partial ^ 2 {}}}} {\ partial ^ 2 {t}} - \ frac {m ^ 2c ^ 2} {\ hbar ^ 2} \右）\ psi e ^ {\ frac {i} {\ hbar}（px - \ mathsf{e} t）} = 0 \ end {等式*}$

但在我们能做到之前，让我们重新排列这个公式，我们将最终成为称为Klein-Gordon方程的等式：

$\ begin {align *} \ left（\ frac {{\ partial ^ 2 {}} {\ partial ^ 2 {x}} - \ frac {1}} - \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {{\ partial ^ 2 {}}}}} {\ partial ^ 2 {t}} - \ frac {m ^ 2c ^ 2} {\ hbar ^ 2} \右）\ psi_0 e ^ {\ frac {i} {\ hbar}（px - \ mathsf{e} t）}＆= 0 \\ \ frac {{\ partial ^ 2 {\ psi（x，t）}}} {\ partial ^ 2 {x}} - \ frac {m ^ 2c ^ 2} {\ hbar ^ 2} \ psi（x，t）＆= \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {{\ partial ^ 2 {\ psi（x，t）}}} {\ partial ^ 2 {t}} \结束{align *}$

现在我们可以很容易地将它推广到三维空间，通过将这个方程转化为矢量方程(我们推导这个公式的所有步骤都适用于所有情况 $x, y$ 和 $z$ ．)

$\开始{方程*}\微分算符^ 2 \ Psi (vec {r} \ t) - \压裂{m ^ 2 c ^ 2}{\百巴^ 2}\ Psi (vec {r} \ t) = \压裂{1}{c ^ 2} \压裂{{\部分^ 2 {\ Psi (vec {r} \ t)}}}{\部分^ 2 {t}} \{方程*}结束$

这个方程被称为自由粒子的克莱因-戈登方程。这个方程是相对论性的，因为它的能量项不做我们做过的假设 $\ sqrt {1 + x}$ 泰勒展开式。

现在，让我们简化克莱因-戈登方程(回到一维，应用我们新的能量公式)，我们将得到期待已久的Schrödinger方程:

$\ begin {aligal *} \ frac {{\ partial ^ 2 {\ psi}}} - \ frac {m ^ 2c ^ 2} {\ hbar ^ 2}} {\ hbar ^ 2} \ psi＆= \FRAC {1} {C ^ 2} \ FRAC {{\ Partial ^ 2 {\ psi}}} {\ partial ^ 2 {t}} \ neat {alight *}$

让我们放入我们的新波函数 $\ Psi (vec {r} \ t) = e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \ Psi (vec {r} \ t)$ 我们知道一阶导数和二阶导数是什么样子的

$\ begin {aligne *} \ frac {{\ partial ^ 2 {}} {\ partial ^ 2 {x}} e ^ { - \ frac {i} {\ hbar} mc ^ 2t} \ psi - \ frac {m ^ 2c ^ 2} {\ hbar ^ 2} e ^ { - \ frac {i} {\ hbar} mc ^ 2t} \ psi＆= \ frac {1} {c ^ 2} \ left（ - \ frac {米^2c^4}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}mc^2e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) + e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= \frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi -\frac{m^2c^2}{\hbar^2} e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\psi - \frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} + e^{-\frac{i} {\hbar}mc^2t}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}\\ \frac{ {\partial^2{}} }{\partial^2{x}}e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t} \psi &= -\frac{2i}{\hbar}me^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\frac{\partial \psi}{\partial t} \\ e^{-\frac{i}{\hbar}mc^2t}\left( \frac{ {\partial^2{\psi}} }{\partial^2{x}} +\frac{2im}{\hbar}\frac{\partial \psi}{\partial t} \right) &= 0 \end{align*}$

现在我们需要做的就是简单地重新排列，以获得三维的Schrödinger方程(注意 $\ frac {1} {i} = -i$ ）：

$\ begin {arearation *} i \ hbar \ frac {\ partial {}} {\ partial {t}} \ psi（\ vec {r}，t）= \ frac { - \ hbar ^ 2} {2 m} \nabla ^ 2 \ psi（\ vec {r}，t）\ end {arearation *}$

我们可以通过注意经典哈密顿量的相似性来证明方程右边的项描述了波函数的总能量。

在我们的推导中，我们认为 $V (vec {r} \ t)$ 是0，只考虑了动能。我们知道潜在对其空间变化纯粹的添加剂，因此，三维具有潜力的全薛定液方程是：

$\{方程*}我开始\百巴\压裂{\部分{}}{\部分{t}} \ Psi (vec {r} \ t) =左\[\压裂{- \百巴^ 2}{2 m} \微分算符^ 2 + V (vec {r} \ t)正确\]\ Psi (vec {r} \ t)。结束\{方程*}$

而已！我们拥有它，本文在三维中衍生出完整的施罗德格方程，以实现非相对论粒子。如果你喜欢这篇文章并希望看到更像这样的话，请给我们发电子邮件让我们知道。

引用

煤气摩砂，S。（2019）。量子物理学．第二次。加拿大：汉密尔顿印花，第1-50页。
格里菲思,d .(2019)。量子物理学．剑桥大学印刷厂:剑桥大学出版社。
沃德，D。和Volkmer，S。（2019）。如何推导薛定谔方程．[在线] arxiv.org。可用：https：//arxiv.org/abs/physics/0610121v1 [2019年5月29日访问]。
Shankar，R。（1980）。量子力学原理．1 ed。纽约：Springer Science，PP.1-40。

Schrödinger波动方程:推导与解释