Schrödinger波动方程:推导与解释英雄联盟菠菜app - 英雄联盟菠菜app,英雄联盟赌钱网站,英雄联盟彩票官网首页

内容

什么是薛定谔方程

的薛定谔方程(也称为薛定谔波动方程)是一个偏微分方程，它通过波函数描述量子力学系统的动力学。通过求解Schrödinger方程，可以得到系统的轨迹、位置和能量。

亚原子粒子的所有信息都编码在波函数中。波函数将满足并可以用薛定谔方程求解。薛定谔方程是本科生物理学中引入的基本公理之一。在大学的电气工程教学大纲中引入Schrödinger方程也越来越普遍，因为它适用于英雄联盟竞彩网半导体．

不幸的是，在这两种情况下，它只是作为一个公设声明，而从未以任何有意义的方式导出。这是相当令人不满意的，因为几乎所有的量子物理本科教学都是建立在这个基础上的。在本文中，我们将从头推导出这个方程，并且我将尽力展示所采取的每一步。

有趣的是，我们将提出的论点和Schrödinger自己的观点是一样的，所以你可以看到一个巨人在他的时代是如何思考的。提醒一下，下面是三维空间(非相对论粒子)中与时间相关的Schrödinger方程:

量子物理与波

每个人都喜欢抛弃经典物理学——但它在很长一段时间里为我们提供了很好的服务(想想牛顿力学、麦克斯韦方程和狭义相对论)。

然而，正如我们之前的文章所示，与当时已知的物理学相比，世纪之交的实验结果并不是那么耀眼。我们的文章双缝实验在某种程度上，光电效应是实验结果，与已知的时间理解并不相符。

但是为什么呢?简单地说，在经典物理学中存在两种实体，粒子和波。这两个实体的特点可以描述如下:

粒子:带有质量的能量和动量的局域束 $米$ ．

波:扰动随时间在太空旅行中传播。它们可以用波函数来描述 $vec {\ psi (\ r}, t)$ 描述了空间和时间上的波。

这让我们想到在我们的光电发射篇文章。我们发现电子显示这两个这些属性。这与当时已知的理解完全矛盾，因为这两个实体被认为是相互排斥的。

疯狂对吧?大约在这个时候，一些真正有影响力的物理学家开始意识到知识上的差距，当路易斯·德·布罗意将(粒子的)动量与(波的)波长联系起来时，一个重大的突破出现了

$p = h/\lambda。结束\{方程*}$

另外,从光电发射我们知道光子的能量吸收和发射(仍不确定是粒子还是波)有以下能量:

$E = hf = hbar \omega \end{equation*}$

在哪里 $\百巴= h / 2 \π$ 和 $\ω= 2π\ f$ ．我们现在正处于Schrödinger在推导出他的著名方程之前的完全相同的阶段。但我们从哪里开始呢?我们知道电子和光子表现出波状和粒子状的行为。从一个所有波都应该服从的通用方程开始，然后在上面引入粒子物理学，看看是否有结果，这不会有什么错。

如何推导波动方程

干扰 $vec {\ psi (\ r}, t)$ 服从波动方程。记住，电子表现出波状行为，并带有电磁电荷。因此，现在让我们来看看电磁场。在这种情况下，应用麦克斯韦方程，这是它们的全部荣耀:

${对齐*}\微分算符\ \开始* vec {\ E } &= - \ 压裂{\部分{\ vec {B}}}{\部分{t}} \ \ \微分算符\ vec {B} & = - * \ \ mu_0 \离开vec {J} + (\ \ epsilon_0 \压裂{\部分{\ vec {E}}}{\部分{t}} \) \ \ \微分算符\ cdot vec {E} & = \ \压裂{\ρ}{\ epsilon_0} \ \ \微分算符\ cdot vec {B} & = 0 \ \{对齐*}结束$

在哪里 $c$ 是真空中的光速， $vec {E} \$ 电场是和吗 $vec {B} \$ 是磁场。上面的第一个方程是发电机、电感器、变压器的基础，是法拉第定律的体现。

还有，来自 ${B} = 0$ 就是没有磁单极子存在。理解这些方程的推导过程和它们背后的物理意义有助于成为一个全面发展的工程师。现在，让我们通过对方程4施加旋度来推导任何电磁波必须服从的方程:

${对齐*}\微分算符\ \开始* vec {\ E } &= - \ 压裂{\部分{\ vec {B}}}{\部分{t}} \ \ \意味着\微分算符(\ \倍vec{微分算符\ * \ E }) &= - \ 压裂{\部分{(vec {B} \ \微分算符\倍)}}{\部分{t}} \ \ \意味着\微分算符\ * (vec {E} \ \微分算符\倍)& = - \压裂{1}{c ^ 2} \压裂{\部分^ 2 {\ vec {E}}}{\部分{t ^ 2}}{对齐*}\结束$

现在我们可以利用一个非常熟悉(且很容易证明)的向量恒等式: $\nabla \times (\nabla \times T) = \nabla(\nabla \cdot T) - \nabla^2T$ 在哪里 $T$ 是某个占位符向量。现在应用到我们的小方程中

$\开始{对齐*}\微分算符(\微分算符\ cdot \ vec {E}) - \微分算符^ vec {E} & = - 2 \ \压裂{1}{c ^ 2} \压裂{\部分^ 2 {\ vec {E}}}{\部分{t ^ 2}} \ \ \暗示——\微分算符^ vec {E} & = - 2 \ \压裂{1}{c ^ 2} \压裂{\部分^ 2 {\ vec {E}}}{\部分{t ^ 2}} \ \ \微分算符vec {E} - ^ 2 \ \压裂{1}{c ^ 2} \压裂{\部分^ 2 {\ vec {E}}}{\部分{t ^ 2}} & = 0结束\{对齐*}$

我们得到的结果是三维的电磁波方程。这个方程不仅表现在电磁波中，而且也表现在声学、地震波、声波、水波和流体动力学中。

如何推导Schrödinger方程

波动方程的平面波解

从一维的波动方程开始(这真的很容易推广到三维，因为逻辑将适用于所有 $x, y$ 和 $z$ 维度。):

${方程*}\ \开始压裂{{\部分^ 2 {E}}}{\部分^ 2 {x}} = \压裂{1}{c ^ 2} \压裂{{\部分^ 2 {E}}}{\部分^ 2 {t}} \ Longrightarrow \压裂{{\部分^ 2 {E}}}{\部分^ 2 {x}} - \压裂{1}{c ^ 2} \压裂{{\部分^ 2 {E}}}{\部分^ 2 {t}} = 0 \{方程*}结束$

这实际上是一个二阶偏微分方程，满足平面波解:

$E ^{i(kx - (t))} \text{(自己检查一下!)} \结束{方程*}$

我们从普通波动力学中知道的 $k = \压裂{2 \π}{\λ}$ 和 $= 2 f$ ．现在，让我们利用爱因斯坦和康普顿所做的功，代入光子的能量是由 $\mathsf{E} = hbar \$ 从de-Broglie那里 $P = h / = hbar k$ ．我们可以进一步按摩平面波解为:

$\{方程*}开始E (x, t) = E_0 E ^{\压裂{我}{\百巴}(px - \ mathsf {E} t)} \{方程*}结束$

这是描述光子的平面波方程。让我们把这个方程代入波动方程，看看我们会发现什么!

$左(\ \开始{对齐*}\压裂{{\部分^ 2{}}}{\部分^ 2 {x}} - \压裂{1}{c ^ 2} \压裂{{\部分^ 2{}}}{\部分^ 2 {t}} \右)E_0 e ^{\压裂{我}{\百巴}(px - \ mathsf {e} t)} & = 0 \ \ \暗示——\压裂{1}{\百巴^ 2}\离开(p ^ 2 - \压裂{\ mathsf {e} ^ 2} {c ^ 2} \右)E_0 e ^{\压裂{我}{\百巴}(px - \ mathsf {e} t)} & = 0结束\{对齐*}$

换句话说, $(1) (1) (2) (2) (2) (3) (3) (4) (4) (5) (5$ 这很好，因为我们从狭义相对论中知道一个有质量的相对论粒子的总能量 $米$ 是:

${E}^2 = p^2c^2 + m^ 2c^ 4 \end{E}^2 = p^2c^2$

到目前为止，我们只讨论了没有质量的光子 $(m = 0)$ ！所以让我们扩展我们的理解，应用总相对论能量对于有质量的粒子(比如电子)，把我们的方程的名字改为 $\ψ$ 因为我们没有超大。

$\{方程*}-开始\压裂{1}{\百巴^ 2}\离开(p ^ 2 - \压裂{\ mathsf {E} ^ 2} {c ^ 2} + m ^ 2 c ^ 2 \) \ Psi E ^{\压裂{我}{\百巴}(px - \ mathsf {E} t)} = 0结束\{方程*}$

这个方程是直接把一个光子的平面波方程代入波动方程。然而，由于我们现在想要能量来解一个有质量的粒子的总相对论能量，我们需要稍微改变波动方程。这是因为波动方程不应该完全适用于我们的新 $\ψ$ 它描述粒子和波。我们现在可以反向求解一个运算符来得到上面的方程，它是这样给出的:

$左(\ \开始{方程*}\压裂{{\部分^ 2{}}}{\部分^ 2 {x}} - \压裂{1}{c ^ 2} \压裂{{\部分^ 2{}}}{\部分^ 2 {t}} - \压裂{m ^ 2 c ^ 2}{\百巴^ 2}\)\ Psi e ^{\压裂{我}{\百巴}(px - \ mathsf {e} t)} = 0结束\{方程*}$

波动方程中有质量粒子的求解

我们现在想对刚才描述的全能量做一些近似 $\ mathsf {E}$ 对于一个有动量和质量的粒子。我们稍微重新整理一下公式这样我们就可以用一些近似了。

$\开始{对齐*}\ mathsf {E} ^ 2 & = p c ^ 2 ^ 2 + m ^ 2 c ^ 4 \ \ \ mathsf {E} & = \ sqrt{\离开(p c ^ 2 ^ 2 + m ^ 2 c ^ 4 \对吧 )}\\ &= \ √6{\离开(c ^ 4(\压裂{p ^ 2} {c ^ 2} + m ^ 2) \ )}\\ &= \ √6{\离开(c ^ 4 m ^ 2(\压裂{p ^ 2} {m ^ 2 c ^ 2} + 1) \右)}\ \ & = mc ^ 2 \√{\离开(\压裂{p ^ 2} {m ^ 2 c ^ 2} + 1 \右)}\{对齐*}结束$

这个操作的重点是得到这个形式的方程 $\ sqrt {1 + x}$ 因为如果我们对这个方程进行泰勒级数展开，我们会得到

${方程*}\ \开始sqrt {1 + x} \大约1 + \压裂{x}{2} - \压裂{x ^ 2}{8} + \压裂{x ^ 3}{16} +……结束\{方程*}$

当 $x$ 很小，泰勒展开中唯一剩下的部分是 $O (1)$ 术语。在能量公式中， $x = \压裂{p ^ 2} {m ^ 2 c ^ 2} = \离开(\压裂{p} {mc} \右)^ 2$ ．我们可以利用这个事实 $P = mv \ll Mc$ 对于任何不以光速传播的东西(如果你发现任何不满足这个要求的东西，请找我)!所以这一项实际上可以归结为:

${对齐*}\ \开始mathsf {E} & = mc ^ 2 \√{左(\ \压裂{p ^ 2} {m ^ 2 c ^ 2} + 1 \对吧 )}\\ & \ 大约mc ^左(1 + 2 \ \压裂{1}{2}\压裂{p ^ 2} {m ^ 2 c ^ 2} \ )\\ & = mc ^ 2 + \压裂{p ^ 2} {2 m} = mc ^ 2 + E_{\文本{动能}}{对齐*}\结束$

在哪里

$文本\{方程*}E_开始\{动能}= \压裂{1}{2}mv ^ 2 = \压裂{1}{2}\压裂{(mv) ^ 2} {m} = \压裂{p ^ 2} {2 m} \{方程*}结束$

是我们从高中物理中看到的正常动能。现在回到之前的波函数，让我们输入这个新信息，看看我们会得到什么:

$\开始{对齐*}\ Psi (vec {r} \ t) & = \ Psi_0 e ^{\压裂{我}{\百巴}(vec {r} - p \ \ mathsf {e} t)} \ \ & = \ Psi_0 e ^{\压裂{我}{\百巴}(p vec {r} \ - mc ^ 2 t - E_{\文本{动能}}t)} \ \ & ^ = e{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \ Psi_0 e ^{\压裂{我}{\百巴}vec {r} - E_ (p \{\文本{动能}}t)} \ \ \{对齐*}结束$

我们现在分开这两项的原因是第一项 $e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t}$ (还是基于光速)将明显比第二项更具振荡性，而且不一定能描述我们所追寻的粒子波实体。为了巩固这种差异，让我们来确认一下:

${方程*}\ \开始Psi (vec {r} \ t) = e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \ Psi (vec {r} \ t) \{方程*}结束$

我们已经定义了:

${方程*}\ \开始psi (vec {r} \ t) = \ Psi_0 e ^{\压裂{我}{\百巴}vec {r} - E_ (p \{\文本{动能}}t)}。结束\{方程*}$

现在我们来求一阶和二阶偏导 $vec {\ Psi (\ r}, t)$ 看看我们会得到什么。第一个:

${方程*}\ \开始压裂{\部分{\ Psi}}{\部分t} = - \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \ Psi (vec {r} \ t) + e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \压裂{\部分\ Psi (vec {r} \ t)}{\部分t} \{方程*}结束$

第二个:

$\开始{方程*}\压裂{\部分^ 2 {\ Psi}}{\部分t ^ 2} = \离开(- \压裂{m ^ 2 c ^ 4}{\百巴^ 2}e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \ Psi - \压裂我{2}{\百巴}mc ^ ^ 2 e{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \压裂{\部分\ Psi}{\部分t} \右)+ e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \压裂{\部分^ 2 \ Psi}{\部分t ^ 2} \{方程*}结束$

我们应该记住，最后一项的二阶偏导数是很小的，因为没有 $c ^ 2$ 带有数量级的项，因此通过近似，实际的二阶导数是:

$\开始{对齐*}\压裂{\部分^ 2 {\ Psi}}{\部分t ^ 2} \大约\离开(- \压裂{m ^ 2 c ^ 4}{\百巴^ 2}e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \ Psi - \压裂我{2}{\百巴}mc ^ ^ 2 e{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \压裂{\部分\ Psi}{\部分t} \) \{对齐*}结束$

我们取这两个偏导数的原因是，我们可以把它们代入之前描述波函数的方程:

但在此之前，让我们重新整理一下这个公式最后得到一个叫做克莱因-戈登方程的方程

$左(\ \开始{对齐*}\压裂{{\部分^ 2{}}}{\部分^ 2 {x}} - \压裂{1}{c ^ 2} \压裂{{\部分^ 2{}}}{\部分^ 2 {t}} - \压裂{m ^ 2 c ^ 2}{\百巴^ 2}\)\ Psi_0 e ^{\压裂{我}{\百巴}(px - \ mathsf {e} t)} & = 0 \ \ \压裂{{\部分^ 2 {\ Psi (x, t)}}}{\部分^ 2 {x}} - \压裂{m ^ 2 c ^ 2}{\百巴^ 2}\ Psi (x, t ) &= \ 压裂{1}{c ^ 2} \压裂{{\部分^ 2 {\ Psi (x,t)}}}{\部分^ 2 {t}} \{对齐*}结束$

现在我们可以很容易地将它推广到三维空间，通过将这个方程转化为矢量方程(我们推导这个公式的所有步骤都适用于所有情况 $x, y$ 和 $z$ ．)

$\开始{方程*}\微分算符^ 2 \ Psi (vec {r} \ t) - \压裂{m ^ 2 c ^ 2}{\百巴^ 2}\ Psi (vec {r} \ t) = \压裂{1}{c ^ 2} \压裂{{\部分^ 2 {\ Psi (vec {r} \ t)}}}{\部分^ 2 {t}} \{方程*}结束$

这个方程被称为自由粒子的克莱因-戈登方程。这个方程是相对论性的，因为它的能量项不做我们做过的假设 $\ sqrt {1 + x}$ 泰勒展开式。

现在，让我们简化克莱因-戈登方程(回到一维，应用我们新的能量公式)，我们将得到期待已久的Schrödinger方程:

${对齐*}\ \开始压裂{{\部分^ 2 {\ Psi}}}{\部分^ 2 {x}} - \压裂{m ^ 2 c ^ 2}{\百巴^ 2}\ Psi & = \压裂{1}{c ^ 2} \压裂{{\部分^ 2 {\ Psi}}}{\部分^ 2 {t}} \{对齐*}结束$

我们代入新的波函数 $\ Psi (vec {r} \ t) = e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \ Psi (vec {r} \ t)$ 我们知道一阶导数和二阶导数是什么样子的

$\开始{对齐*}\压裂{{\部分^ 2{}}}{\部分^ 2 {x}} e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \ psi - \压裂{m ^ 2 c ^ 2}{\百巴^ 2}e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \ psi & = \压裂{1}{c ^ 2} \离开(- \压裂{m ^ 2 c ^ 4}{\百巴^ 2}e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \ psi - \压裂我{2}{\百巴}mc ^ ^ 2 e{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \压裂{\部分\ psi}{\部分t} \右)+e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \压裂{\部分\ psi}{\部分t} \ \ \压裂{{\部分^ 2{}}}{\部分^ 2 {x}} e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \ psi & = \压裂{m ^ 2 c ^ 2}{\百巴^ 2}e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \ psi - \压裂{m ^ 2 c ^ 2}{\百巴^ 2}e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \ psi - \压裂我{2}{\百巴}我^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \压裂{\部分\ psi}{\部分t} + e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \压裂{\部分^ 2 \ psi}{\部分t ^ 2} \ \ \压裂{{\部分^ 2{}}}{\部分^ 2 {x}} e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \ psi & = - \压裂我{2}{\百巴}我^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \压裂{\部分\ psi}{\部分t} \ \ e ^{- \压裂{我}{\百巴}mc ^ 2 t} \离开(\压裂{{\部分^ 2 {\ psi}}}{\部分^ 2 {x}} + \压裂{2 im}{\百巴}\压裂{\部分\ psi}{\部分t} \右)& = 0结束\{对齐*}$

现在我们需要做的就是简单地重新排列，以获得三维的Schrödinger方程(注意 $\压裂{1}{我}=我$ ）：

$\{方程*}我开始\百巴\压裂{\部分{}}{\部分{t}} \ Psi (vec {r} \ t) = \压裂{- \百巴^ 2}{2 m} \微分算符^ 2 \ Psi (vec {r} \ t)结束\{方程*}$

我们可以通过注意经典哈密顿量的相似性来证明方程右边的项描述了波函数的总能量。

在推导过程中，我们假设 $V (vec {r} \ t)$ 是0，只考虑了动能。我们知道电势对于其空间变化是纯粹的可加性，因此，完整的Schrödinger三维电势方程是:

$\{方程*}我开始\百巴\压裂{\部分{}}{\部分{t}} \ Psi (vec {r} \ t) =左\[\压裂{- \百巴^ 2}{2 m} \微分算符^ 2 + V (vec {r} \ t)正确\]\ Psi (vec {r} \ t)。结束\{方程*}$

就是这样!这篇文章导出了三维非相对论粒子的完整薛定谔方程。如果你喜欢这篇文章，并希望看到更多这样的文章，请给我们发邮件。

引用

Gasiorowicz,美国(2019年)。量子物理学．2版。加拿大:汉密尔顿印刷，第1-50页。
格里菲思,d .(2019)。量子物理学．剑桥大学印刷厂:剑桥大学出版社。
Ward, D.和Volkmer, S.(2019)。如何推导薛定谔方程．[网络]arXiv.org。可在https://arxiv.org/abs/physics/0610121v1[访问2019年5月29日]。
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